第3回: オペアンプ(その2)

受動フィルタ(復習)

今回は、ある一定の周波数の信号のみを通す「フィルタ(filter)」回路を オペアンプをつかってつくることを考えていきましょう。 まずは前期の情報回路第1の復習から入りましょう。

RC 1次フィルタ


この図のようにRとCからなる回路の、入力viと出力voの比、 すなわち伝達関数H(ω)を求めてみます。 といってもコンデンサのインピーダンスが入力の周波数(or角周波数ω)によって 変わりますから、このH(ω)もωによって変わる、すなわちωの関数となります。

回路方程式(というほどのものでもないが・・・)を解いてみると、 次の式が導かれるでしょう。
H(ω) = vo/vi = 1 / (1 + jωRC) = 1 / (1 + jω/ωc) (ただしωC = 1 / RC)
分母にωの1次式が入っているため、「1次の(ローパス)フィルタ」と呼ばれます。

LC 2次フィルタ


同様に、この図のようにLとCとRからなる回路の入力viと出力voの比、 すなわち伝達関数H(ω)を求めみると、次のようになります。
H(ω) = vo/vi = 1 / (-ω2LC + jωCR + 1) = 1 / { (jω/ωc)2 + j(ω/ωc)(1/Q) + 1}
ここで、ωc=1/√LC, Q = 1/ωcCR です。 2次のローパスフィルタ(LPF)は、一般にこのような形の伝達関数をもつわけです。

オペアンプを使ったフィルタ(その1: VCVS型)


オペアンプを使って、フィルタ回路をつくることを考えましょう。 やや天下り的ではありますが、この図のような回路を考えてみます。 この回路の、伝達関数H(ω)=vo/viを求めたいわけですが、 地道にやっていくことにしましょう。

この図のような等価回路を描いてみます。 (ナレータ・ノレータは出てきていませんが、2つの入力の電圧が同じで 電流が流れない、などで、等価的に同じことを考えているわけです) 次のような式が導かれるでしょうか。 最初の式に、最後の式を i2 = jωC2・vo と変形してから 代入すると、 となりますので、これを２番目の式に代入すると、 最終的に次のような式が導かれます。
H(ω) = vo/vi = 1 / { -ω2C1C2R1R2 + jω(R1+R2)C2 + 1 }
かなり見にくい式ですので、 とおいてみると、 次のように書くことができます。
H(ω) = 1 / { (jω/ωc)2 + j(ω/ωc)(1/Q) + 1}
これは、さきほどのLC2次LPFの伝達関数そのものですから、 このオペアンプの回路も、2次のLPFであることがわかります。 オペアンプを使ったこの形のフィルタを、 VCVS型 (Voltage Controlled Voltage Source型)と呼びます。

両方とも同じ伝達関数ならオペアンプをわざわざ使う必要はない、という 気もしますが、 周波数が低いところで使うフィルタを作ろうとすると、 特性のよいインダクタ(直列抵抗が小さいもの)を作るのが困難であるため、 一般に、周波数が高いところで使うフィルタを作るときにはLC回路で、 周波数が低いところで使うフィルタを作るとき、またはフィルタ自身に 増幅性能を持たせたい(この回路ではできませんが、オペアンプを 使っていますから、増幅性能を持たせることは可能です)ときには、 オペアンプを使ったフィルタ(能動フィルタ)を使うことが 多いようです。

オペアンプを使ったフィルタ(その2: 多重帰還型)


オペアンプを使った、別の能動フィルタを紹介しておきましょう。 この図のような回路を考えてみます。 これも地道に回路方程式をたてていくことにしましょう。 これからi1〜i3を消去し、続いてvaを消去すると、 次のような関係式が得られます。
H(ω) = -1 / (-ω2C1C2R2 + 3jωC2R + 1)
ここで、 とおくと、やはり次のように2次LPFの伝達関数の式になることが わかります。
H(ω) = 1 / { (jω/ωc)2 + j(ω/ωc)(1/Q) + 1}
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