第3回: オペアンプ(その2)

受動フィルタ(復習)

今回は、ある一定の周波数の信号のみを通す「フィルタ(filter)」回路をオペアンプをつかってつくることを考えていきましょう。まずは前期の情報回路第1の復習から入りましょう。

RC 1次フィルタ

この図のようにRとCからなる回路の、入力v_iと出力v_oの比、すなわち伝達関数H(ω)を求めてみます。といってもコンデンサのインピーダンスが入力の周波数(or角周波数ω)によって変わりますから、このH(ω)もωによって変わる、すなわちωの関数となります。

回路方程式(というほどのものでもないが・・・)を解いてみると、次の式が導かれるでしょう。

ただし

分母にωの1次式が入っているため、「1次の(ローパス)フィルタ」と呼ばれます。

LC 2次フィルタ

同様に、この図のようにLとCとRからなる回路の入力v_iと出力v_oの比、すなわち伝達関数H(ω)を求めみると、次のようになります。

ここで、

です。 2次のローパスフィルタ(LPF)は、一般にこのような形の伝達関数をもつわけです。

オペアンプを使ったフィルタ(その1: VCVS型)

オペアンプを使って、フィルタ回路をつくることを考えましょう。やや天下り的ではありますが、この図のような回路を考えてみます。この回路の、伝達関数H(ω)=v_o/v_iを求めたいわけですが、地道にやっていくことにしましょう。

この図のような等価回路を描いてみます。 (2つの入力の電圧が同じで電流が流れない、などで、等価的に同じことを考えています) 次のような式が導かれるでしょうか。

※[訂正]第1式の第3項の分母のC₂は、正しくはC₁です
最初の式に、最後の式を i₂ = jωC₂・v_o と変形してから代入すると、

となりますので、これを２番目の式に代入すると、最終的に次のような式が導かれます。

かなり見にくい式ですので、

とおいてみると、次のように書くことができます。

これは、さきほどのLC2次LPFの伝達関数そのものですから、このオペアンプの回路も、2次のLPFであることがわかります。オペアンプを使ったこの形のフィルタを、 VCVS型 (voltage Controlled voltage Source型)と呼びます。

両方とも同じ伝達関数ならオペアンプをわざわざ使う必要はない、という気もしますが、周波数が低いところで使うフィルタを作ろうとすると、特性のよいインダクタ(直列抵抗が小さいもの)を作るのが困難であるため、一般に、周波数が高いところで使うフィルタを作るときにはLC回路で、周波数が低いところで使うフィルタを作るとき、またはフィルタ自身に増幅性能を持たせたい(この回路ではできませんが、オペアンプを使っていますから、増幅性能を持たせることは可能です)ときには、オペアンプを使ったフィルタ(能動フィルタ)を使うことが多いようです。

オペアンプを使った1次フィルタ

前回は、いきなり複雑なフィルタを紹介してしまいましたので、今回はちょっと戻って、オペアンプを使った1次のフィルタみましょう。

このような回路の伝達関数を、反転増幅器のときと同じように求めると次のようになります。

つまり、1次のLPF、ということになります。ただし全体の増幅率がR₂/R₁ですから、RCだけからなる受動フィルタと違い、増幅もいっしょにできる、という特性があります。ちなみにこれのボード線図は次のようになるでしょう。

この回のソボクな疑問集

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